Целые числа: общее представление. Положительные и отрицательные целые числа

Содержание статьи

Понятие числа в математике может относиться к объектам различной природы: натуральным числам, используемым при счете (положительным целым числам 1, 2, 3 и т.д.), числам, являющимся возможными результатами (идеализированных) измерений (это такие числа, как 2/3, – их называют действительными числами), отрицательным числам, мнимым числам (скажем, к ) и к другим более абстрактным классам чисел, используемым в высших разделах математики (например, к гиперкомплексным и трансфинитным числам). Число необходимо отличать от его символа, или обозначения, которое его представляет. Мы рассмотрим логические отношения между различными классами чисел.

Такие загадки легко разрешаются, если принять во внимание, что различные классы чисел имеют совершенно различный смысл; хотя у них достаточного много общего, чтобы их всех можно было называть числами, не следует думать, что все они будут удовлетворять одним и тем же правилам.

Положительные целые числа.

Хотя мы все усваиваем положительные целые числа (1, 2, 3 и т.д.) в раннем детстве, когда вряд ли приходит в голову задумываться об определениях, тем не менее такие числа могут быть определены по всем правилам формальной логики. Строгое определение числа 1 заняло бы не один десяток страниц, а формула типа 1 + 1 = 2, если записать ее во всех подробностях без каких-либо сокращений, протянулась бы на несколько километров. Однако любая математическая теория вынуждена начинаться с некоторых неопределяемых понятий и аксиом или постулатов относительно них. Так как положительные целые числа хорошо известны и трудно определить их с помощью чего-то более простого, мы примем их за исходные неопределяемые понятия и будем считать, что основные свойства этих чисел известны.

Отрицательные целые числа и нуль.

Отрицательные числа в наши дни вещь обыденная: их используют, например, для того, чтобы представить температуру ниже нуля. Поэтому кажется удивительным, что еще несколько столетий назад какой-либо конкретной интерпретации отрицательных чисел не было, а возникающие по ходу вычислений отрицательные числа назывались «воображаемыми». Несмотря на то, что интуитивная интерпретация отрицательных чисел сама по себе полезна, пытаясь понять такие «правила», как (–4)ґ(–3) = +12, мы должны определить отрицательные числа с помощью положительных. Для этого нам нужно построить множество таких математических объектов, которые будут вести себя в арифметике и алгебре именно так, как можно было бы ожидать от отрицательных чисел. Один из способов построить такое множество состоит в рассмотрении упорядоченных пар положительных чисел (a ,b ). «Упорядоченность» означает, что, например, пара (2,3) отлична от пары (3,2). Такие упорядоченные пары можно рассматривать как новый класс чисел. Теперь мы должны сказать, когда два таких новых числа равны и что означает их сложение и умножение. Наш выбор определений обусловлен желанием, чтобы пара (a ,b ) действовала как разность (a – b ), которая пока что определена, лишь когда a больше b . Так как в алгебре (a – b ) + (c – d ) = (a + c ) – (b + d ), мы приходим к необходимости определить сложение новых чисел как (a ,b ) + (c ,d ) = (a + c , b + d ); т.к. (a – b )ґ(c – d ) = ac + bd – (bc + ad ), мы определяем умножение равенством (a ,b )ґ(c ,d ) = (ac + bd , bc + ad ); а так как (a – b ) = (c – d ), если a + d = b + c , мы определяем равенство новых чисел соотношением (a ,b ) = (c ,d ), если a + d = b + c . Таким образом,

Используя определения равенства пар, можно записать сумму и произведение пар в более простом виде:

Все пары (a ,a ) равны (по определению равенства пар) и действуют так, как по нашим ожиданиям должен действовать нуль . Например, (2,3) + (1,1) = (3,4) = (2,3); (2,3)ґ(1,1) = (2 + 3, 2 + 3) = (5,5) = (1,1). Пары (a ,a ) мы можем обозначить символом 0 (который до сих пор не использовали).

Пары (a ,b ), где b больше a , ведут себя так, как должны были бы действовать отрицательные числа, и мы можем обозначить пару (a ,b ) символом –(b – a ). Например, -4 – это (1,5), а -3 – это (1,4); (–4)ґ(–3) = (21,9), или (13,1). Последнее число хотелось бы обозначить как 12, но это заведомо не то же самое, что положительное целое число 12, поскольку обозначает пару положительных целых чисел, а не одно положительное целое число. Необходимо подчеркнуть, что поскольку пары (a ,b ), где b меньше a , действуют как положительные целые числа (a – b ), мы будем записывать такие числа как (a – b ). При этом надо забыть о положительных целых числах, с которых мы начали, и впредь пользоваться только нашими новыми числами, которые назовем целыми числами . То, что мы намереваемся использовать старые названия для некоторых новых чисел, не должно вводить в заблуждение относительно того, что в действительности новые числа представляют собой объекты иного рода.

Дроби.

Интуитивно мы представляем себе дробь 2/3 как результат разбиения 1 на три равные части и взятия двух из них. Однако математик стремится как можно меньше полагаться на интуицию и определять рациональные числа через более простые объекты – целые числа. Это можно сделать, если 2/3 рассматривать как упорядоченную пару (2,3) целых чисел. Для завершения определения необходимо сформулировать правила равенства дробей, а также сложения и умножения. Разумеется, эти правила должны быть эквивалентны правилам арифметики и, естественно, отличаться от правил для тех упорядоченных пар, которые мы определили как целые числа. Вот эти правила:

Нетрудно видеть, что пары (a ,1) действуют как целые числа a ; продолжая рассуждать так же, как в случае отрицательных чисел, мы обозначим через 2 дробь (2,1), или (4,2), или любую другую дробь, равную (2,1). Забудем теперь о целых числах и сохраним их лишь как средство записи определенных дробей.

Рациональные и иррациональные числа.

Дроби принято также называть рациональными числами, так как они представимы в виде отношений (от лат. ratio – отношение) двух целых чисел. Но если нам потребуется число, квадрат которого равен 2, то мы не сможем обойтись рациональными числами, т.к. не существует рационального числа, квадрат которого равен 2. То же самое выяснится, если поинтересоваться числом, выражающим отношение длины окружности к ее диаметру. Следовательно, если мы хотим получить квадратные корни из всех положительных чисел, то нам необходимо расширить класс рациональных чисел. Новые числа, называемые иррациональными (т.е. не рациональными), можно определять различными способами. Упорядоченные пары для этого не годятся; один из простейших способов состоит в том, чтобы определить иррациональные числа как бесконечные непериодические десятичные дроби.

Действительные числа.

Рациональные и иррациональные числа вместе называются действительными или вещественными числами. Геометрически их можно представить точками на прямой, при этом дроби оказываются в промежутках между целыми числами, а иррациональные числа – в промежутках между дробями, как показано на рис. 1. Можно показать, что система действительных чисел обладает свойством, известным как «полнота» и означающим, что каждой точке на прямой соответствует некоторое действительное число.

Комплéксные числа.

Так как квадраты положительных и отрицательных действительных чисел положительны, на прямой действительных чисел нет точки, соответствующей числу, квадрат которого был бы равен -1. Но если бы мы попытались решать квадратные уравнения типа x 2 + 1 = 0, то необходимо было бы поступать так, как если бы существовало некоторое число i , квадрат которого был бы равен -1. Но поскольку такого числа нет, нам не остается ничего другого, как воспользоваться «воображаемым», или «мнимым», числом. Соответственно, «число» i и его комбинации с обычными числами (типа 2 + 3i ) стали называться мнимыми. Современные математики предпочитают называть такие числа «комплéксными», поскольку они, как мы увидим, столь же «реальны», как и те, с которыми нам уже доводилось встречаться раньше. Долгое время математики свободно пользовались мнимыми числами и получали полезные результаты, хотя не до конца понимали то, что они делали. И до начала 19 в. никому и в голову не приходило «оживить» мнимые числа с помощью их явного определения. Для этого нужно построить некоторую совокупность математических объектов, которые с точки зрения алгебры вели бы себя как выражения a + bi , если условиться, что i 2 = –1. Такие объекты можно определить следующим образом. Рассмотрим в качестве наших новых чисел упорядоченные пары действительных чисел, сложение и умножение которых определяется формулами:

Назовем такие упорядоченные пары комплéксными числами. Пары частного вида (a ,0) со вторым членом, равным нулю, ведут себя как действительные числа, поэтому мы условимся обозначать их так же: например, 2 означает (2,0). С другой стороны, комплексное число (0,b ) по определению умножения обладает свойством (0,b )ґ(0,b ) = (0 – b 2 , 0 + 0) = (–b 2 ,0) = –b 2 . Например, в случае (0,1)ґ(0,1) мы находим произведение (-1,0); следовательно, (0,1) 2 = (–1,0). Мы уже условились записывать комплексное число (-1,0) как -1, поэтому если число (0,1) обозначить символом i , то мы получим комплексное число i , такое, что i 2 = –1. Кроме того, комплексное число (2,3) теперь можно записать в виде 2 + 3i .

Важное отличие такого подхода к комплексным числам от традиционного состоит в том, что в данном случае число i не содержит ничего загадочного или мнимого: оно представляет собой нечто, хорошо определяемое посредством уже существовавших ранее чисел, хотя, разумеется, и не совпадает ни с одним из них. Точно так же, действительное число 2 не является комплексным, хотя мы и используем символ 2 для обозначения комплексного числа. Так как на самом деле в мнимых числах нет ничего «мнимого», то неудивительно, что они широко используются в реальных ситуациях, например в электротехнике (где вместо буквы i обычно используют букву j , так как в электротехнике i – символ для текущего значения силы тока).

Алгебра комплексных чисел во многом напоминает алгебру действительных чисел, хотя имеются и существенные различия. Например, правило для комплексных чисел не выполняется: , поэтому , в то время как .

Сложение комплексных чисел допускает простую геометрическую интерпретацию. Например, сумма чисел 2 + 3i и 3 – i есть число 5 + 2i , которому соответствует четвертая вершина параллелограмма с тремя вершинами в точках 0, 2 + 3i и 3 – i .

Точку на плоскости можно задавать не только прямоугольными (декартовыми) координатами (x ,y ), но и ее полярными координатами (r ,q ), задающими расстояние от точки до начала координат и угол. Следовательно, комплексное число x + iy может быть записано и в полярных координатах (рис. 2,б ). Длина радиуса-вектора r равна расстоянию от начала координат до точки, соответствующей комплексному числу; величина r называется модулем комплексного числа и определяется по формуле . Часто модуль записывают в виде . Угол q называется «углом», «аргументом» или «фазой» комплексного числа. Такое число имеет бесконечно много углов, отличающихся на величину, кратную 360°; например, i имеет угол 90°, 450°, -270°, ј Так как декартовы и полярные координаты одной и той же точки связаны между собой соотношениями x = r cos q , y = r sin q , справедливо равенство x + iy = r (cos q + i sin q ).

Если z = x + iy , то число x – iy называется комплексно сопряженным с z и обозначается n z = re iq . Логарифм комплексного числа re iq , по определению, равен ln r + iq , где ln означает логарифм по основанию e , а q принимает все возможные значения, измеряемые в радианах. Таким образом, комплексное число имеет бесконечно много логарифмов. Например, ln (–2) = ln 2 + ip + любое целое кратное 2p . В общем виде степени можно теперь определить с помощью соотношения a b = e b ln a . Например, i –2i = e –2 ln i . Так как значения аргумента числа i равны p /2 (90°, выраженное в радианах) плюс целое кратное, то число i –2i имеет значения e p , e 3 p , e -p и т.д., которые все являются действительными.

Гиперкомплексные числа.

Комплексные числа были изобретены, чтобы иметь возможность решать все квадратные уравнения с действительными коэффициентами. Можно показать, что на самом деле комплексные числа позволяют сделать гораздо больше: с их введением становятся разрешимыми алгебраические уравнения любой степени даже с комплексными коэффициентами. Следовательно, если бы нас интересовали только решения алгебраических уравнений, то необходимость во введении новых чисел отпала бы. Однако для других целей необходимы числа, устроенные в чем-то аналогично комплексным, но с бóльшим количеством компонент. Иногда такие числа называют гиперкомплексными. Их примерами могут служить кватернионы и матрицы.

В рамках натуральных чисел можно вычесть только меньшее число из большего, а переместительный закон не включает вычитание - например, выражение 3 + 4 − 5 {\displaystyle 3+4-5} допустимо, а выражение с переставленными операндами 3 − 5 + 4 {\displaystyle 3-5+4} недопустимо...

Добавление к натуральным числам отрицательных чисел и нуля делает возможной операцию вычитания для любых пар натуральных чисел. В результате такого расширения получается множество (кольцо) «целых чисел ». При дальнейших расширениях множества чисел рациональными, вещественными, комплексными и прочими числами, для них тем же путём получаются соответствующие отрицательные значения.

Все отрицательные числа, и только они, меньше, чем ноль. На числовой оси отрицательные числа располагаются слева от нуля . Для них, как и для положительных чисел, определено отношение порядка , позволяющее сравнивать одно целое число с другим.

Для каждого натурального числа n существует одно и только одно отрицательное число, обозначаемое -n , которое дополняет n до нуля:

n + (− n) = 0. {\displaystyle n+\left(-n\right)=0.}

Оба числа называются противоположными друг для друга. Вычитание целого числа a из другого целого числа b равносильно сложению b с противоположным для a :

b − a = b + (− a) . {\displaystyle b-a=b+\left(-a\right).}

Пример: 25 − 75 = − 50. {\displaystyle 25-75=-50.}

Энциклопедичный YouTube

1 / 3

Математика 6 класс. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. КООРДИНАТЫ НА ПРЯМОЙ.

Математика 6 класс. Положительные и отрицательные числа

Отрицательные числа. Противоположные числа (Слупко М.В.). Видеоурок по математике 6 класс

Субтитры

Свойства отрицательных чисел

Отрицательные числа подчиняются практически тем же алгебраическим правилам, что и натуральные, но имеют некоторые особенности.

Если любое множество положительных чисел ограничено снизу, то любое множество отрицательных чисел ограничено сверху.
При умножении целых чисел действует правило знаков : произведение чисел с разными знаками отрицательно, с одинаковыми - положительно.
При умножении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на обратный. Например, умножая неравенство 3 < 5 на −2, мы получаем: −6 > −10.

При делении с остатком частное может иметь любой знак, но остаток, по соглашению, всегда неотрицателен (иначе он определяется не однозначно). Например, разделим −24 на 5 с остатком:

− 24 = 5 ⋅ (− 5) + 1 = 5 ⋅ (− 4) − 4 {\displaystyle -24=5\cdot (-5)+1=5\cdot (-4)-4} .

Вариации и обобщения

Понятия положительных и отрицательных чисел можно определить в любом упорядоченном кольце. Чаще всего эти понятия относятся к одной из следующих числовых систем:

Приведенные выше свойства 1-3 имеют место и в общем случае. К комплексным числам понятия «положительный» и «отрицательный» неприменимы.

Исторический очерк

Древний Египет , Вавилон и Древняя Греция не использовали отрицательных чисел, а если получались отрицательные корни уравнений (при вычитании), они отвергались как невозможные. Исключение составлял Диофант , который в III веке уже знал правило знаков и умел умножать отрицательные числа. Однако он рассматривал их лишь как промежуточный этап, полезный для вычисления окончательного, положительного результата.

Впервые отрицательные числа были частично узаконены в Китае , а затем (примерно с VII века) и в Индии , где трактовались как долги (недостача), или, как у Диофанта, признавались как временные значения. Умножение и деление для отрицательных чисел тогда ещё не были определены. Полезность и законность отрицательных чисел утверждались постепенно. Индийский математик Брахмагупта (VII век) уже рассматривал их наравне с положительными.

В Европе признание наступило на тысячу лет позже, да и то долгое время отрицательные числа называли «ложными», «мнимыми» или «абсурдными». Первое описание их в европейской литературе появилось в «Книге абака» Леонарда Пизанского (1202 год), который трактовал отрицательные числа как долг. Бомбелли и Жирар в своих трудах считали отрицательные числа вполне допустимыми и полезными, в частности, для обозначения нехватки чего-либо. Даже в XVII веке Паскаль считал, что 0 − 4 = 0 {\displaystyle 0-4=0} , так как «ничто не может быть меньше, чем ничто» . Отголоском тех времён является то обстоятельство, что в современной арифметике операция вычитания и знак отрицательных чисел обозначаются одним и тем же символом (минус), хотя алгебраически это совершенно разные понятия.

В XVII веке , с появлением аналитической геометрии , отрицательные числа получили наглядное геометрическое представление на

Отрицательные числа располагаются слева от нуля . Для них, как и для положительных чисел, определено отношение порядка , позволяющее сравнивать одно целое число с другим.

Для каждого натурального числа n существует одно и только одно отрицательное число, обозначаемое -n , которое дополняет n до нуля: n + (− n ) = 0 . Оба числа называются противоположными друг для друга. Вычитание целого числа a равносильно сложению с противоположным для него: -a .

Свойства отрицательных чисел

Отрицательные числа подчиняются практически тем же правилам, что и натуральные, но имеют некоторые особенности.

Исторический очерк

Литература

Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. - М.: АСТ, 2003. - ISBN 5-17-009554-6
Глейзер Г. И. История математики в школе . - М.: Просвещение, 1964. - 376 с.

Ссылки

Wikimedia Foundation . 2010 .

Отрицательные формы рельефа
Отрицательный и положительный нуль

Смотреть что такое "Отрицательные числа" в других словарях:

Отрицательные числа - действительные числа, меньшие нуля, например 2; 0,5; π и т. п. См. Число … Большая советская энциклопедия

Положительные и отрицательные числа - (величины). Результат последовательных сложений или вычитаний не зависит от порядка, в котором эти действия производятся. Напр. 10 5 + 2 = 10 +2 5. Здесь переставлены не только числа 2 и 5, но и знаки, стоящие перед этими числами. Согласились… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

числа отрицательные - Числа в бухгалтерском учете, которые пишутся красным карандашом или красными чернилами. Тематики бухгалтерский учет … Справочник технического переводчика

ЧИСЛА, ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ - числа в бухгалтерском учете, которые пишутся красным карандашом или красными чернилами … Большой бухгалтерский словарь

Целые числа - Множество целых чисел определяется как замыкание множества натуральных чисел относительно арифметических операций сложения (+) и вычитания (). Таким образом, сумма, разность и произведение двух целых чисел есть снова целые числа. Оно состоит из… … Википедия

Натуральные числа - числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления). Существуют два подхода к определению натуральных чисел числа, используемые при: перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй,… … Википедия

ЭЙЛЕРОВЫ ЧИСЛА - коэффициенты Е n в разложении Рекуррентная формула для Э. ч. имеет вид (в символической записи, (E + 1)n + (Е 1)n=0, E0 =1. При этом Е 2п+1=0, E4n положительные, E4n+2 отрицательные целые числа для всех n=0, 1, . . .; E2= 1, E4=5, E6=61, E8=1385 … Математическая энциклопедия

Отрицательное число - Отрицательное число элемент множества отрицательных чисел, которое (вместе с нулём) появилось в математике при расширении множества натуральных чисел. Цель расширения: обеспечить выполнение операции вычитания для любых чисел. В результате… … Википедия

История арифметики - Арифметика. Роспись Пинтуриккьо. Апартаменты Борджиа. 1492 1495. Рим, Ватиканские дворцы … Википедия

Арифметика - Ганс Себальд Бехам. Арифметика. XVI век Арифметика (др. греч. ἀ … Википедия

Книги

Математика. 5 класс. Учебная книга и практикум. В 2 частях. Часть 2. Положительные и отрицательные числа , . Учебная книга и практикум для 5 класса входят в состав УМК по математике для 5-6 классов, разработанного авторским коллективом под руководством Э. Г. Гельфман и М. А. Холодной в рамках…

§ 77. О долях единицы.

Мы изучили свойства целых чисел и действия над ними. Кроме целых чисел, существуют числа дробные, с которыми мы сейчас ознакомимся. Когда ученик говорит, что ему от дома до школы полчаса ходьбы, то он выражает время не в целых часах, а в частях часа. Когда врач рекомендует больному растворить порошок в четверти стакана горячей воды, то здесь вода измеряется не целыми стаканами, а частями стакана. Если один арбуз нужно разделить поровну между тремя мальчиками, то каждый из них может получить только треть арбуза, или третью его часть.

Во всех случаях мы говорили не о целых единицах, а о частях, или долях единицы. Доли могут быть самые разнообразные, например грамм есть тысячная доля килограмма, миллиметр - миллионная доля километра. Сначала мы будем говорить о наиболее простых долях (половина, треть, четверть и т. д.).

Для большей наглядности будем изображать эти доли отрезками прямой линии.

Если отрезок АВ примем за единицу (рис. 9), то, разделив его на две равные части, мы можем сказать, что полученные отрезки АС и СВ будут половинами отрезка АВ.

Далее, если отрезок DE (рис. 10) примем за единицу и разделим его на 3 равные части, то каждый из полученных отрезков DF, FH, HE будет равен одной трети отрезка DE, а отрезок DH будет равен двум третям отрезка DE. Точно так же отрезок FE будет равен двум третям отрезка DE.

Возьмём ещё отрезок MN (рис. 11), примем его за единицу и разделим на четыре равные части; тогда каждый из отрезков МР, PQ, QR, RN будет равен одной четверти отрезка MN; каждый из отрезков MQ, PR, QN будет равен двум четвертям его, а каждый из отрезков MR и PN равен трём четвертям MN.

В рассмотренных примерах мы ознакомились с половиной, третью, четвертью, двумя третями, двумя четвертями, тремя четвертями, т. е. либо с одной долей единицы, либо с двумя, либо с тремя равными долями единицы.

Число, составленное из одной или нескольких равных долей единицы, называется дробью .

Мы уже сказали, что вместо слова «доля» можно говорить слово «часть»; поэтому дробью можно назвать число, выражающее одну или несколько одинаковых частей единицы.

Таким образом, названные в этом параграфе числа: половина, или одна вторая, одна треть, одна четверть, две трети и прочие, будут дробями.

Часто приходится рассматривать не только доли предметов, но вместе с ними и целые предметы. Например, два мальчика решили разделить поровну имеющиеся у них пять яблок. Очевидно, каждый из них возьмёт сначала по два яблока, а оставшееся последнее яблоко они разрежут на две равные части. Тогда у каждого будет по два с половиной яблока. Здесь число яблок у каждого мальчика выражается целым числом (два) с некоторой дробью (половина).

Числа, в состав которых входит целое число и дробь, называются смешанными числами.

§ 78. Изображение дробей.

Рассмотрим последний чертёж предыдущего параграфа (рис. 11). Мы говорили, что отрезок MR составляет три четверти отрезка MN. Теперь возникает вопрос, как эту дробь, т. е. три четверти, записать с помощью цифр. Припомним, как возникла дробь три четверти. Мы приняли отрезок MN за единицу, разделили его на 4 равные части и из этих частей взяли 3. Вот этот процесс возникновения дроби и должен быть отражён в её записи, т. е. из этой записи должно быть видно, что единица разделена на 4 равные части и полученных частей взято 3. В силу этого дробь изображают с помощью двух чисел, разделённых горизонтальной чёрточкой. Под чёрточкой пишется число, указывающее, на сколько равных частей разделена единица, от которой берётся дробь, а над чертой пишется другое число, показывающее, сколько долей содержится

в данной дроби. Дробь три четверти будет записана так: 3 / 4 .

Число, стоящее над чертой, называется числителем дроби; это число показывает число долей, содержащихся в данной дроби.

Число, стоящее под чертой, называется знаменателем дроби; оно показывает, на сколько равных частей разделена единица.

3 - числитель,
_
4 - знаменатель.

Чёрточка, отделяющая числитель от знаменателя, называется дробной чертой. Числитель и знаменатель оба вместе называются членами дроби. Напишем в качестве примера дроби:

две трети - 2 / 3 ; пять двенадцатых - 5 / 12 .

Смешанные числа записывают так: сначала пишут целое число и рядом с ним справа приписывают дробь. Например, смешанное число два и четыре пятых нужно записать так: 2 4 / 5 .

§ 79. Возникновение дробей.

Рассмотрим вопрос о том, как и откуда возникают дроби, почему и при каких обстоятельствах они появляются.

Возьмём, например, такой факт. Нужно измерить при помощи метра длину классной доски. Мы берём метровую деревянную линейку и прикладываем её вдоль нижнего края доски, перемещаясь слева направо. Пусть она уложилась два раза, но ещё осталась некоторая часть доски, где линейка в третий раз уже не уложится, потому что длина оставшейся части меньше длины линейки.

Если в оставшейся части доски содержится, например, половина метра, то длина доски равняется двум с половиной (2 1 / 2) метрам.

Будем теперь измерять ширину доски той же самой линейкой. Допустим, что она уложилась один раз, но после этого единственного откладывания осталась небольшая часть доски, длиной меньше метра. Прикладывая метр к этой части доски, положим, удалось обнаружить, что она равна одной четверти (1 / 4) метра.

Значит, вся ширина доски равна 1 1 / 4 м.

Таким образом, при измерении длины и ширины доски мы получили числа 2 1 / 2 м и 1 1 / 4 м (т. е. дробные числа).

Не только длина и ширина предметов, но и очень многие другие величины выражаются часто дробными числами.

Время мы измеряем не только в часах, минутах и секундах, но нередко и в частях часа, в частях минуты и даже в частях секунды.

Очень часто дробными числами выражают вес, например, говорят: 1 / 2 кг, l 1 / 2 кг, 1 / 2 г, 3 / 4 г, 1 / 2 т и т. д.

До сих пор мы говорили о происхождении дробей от измерения, но существует ещё один источник возникновения дробей - это действие деления. Остановимся на этом. Пусть требуется 3 яблока разделить между 4 мальчиками; очевидно, в этом случае каждый мальчик не получит целого яблока, потому что яблок меньше, чем детей. Возьмём сначала 2 яблока и разрежем каждое пополам. Получится 4 половины, а так как мальчиков четыре, то каждому можно дать по половине яблока. Оставшееся третье яблоко разрежем на 4 части и тогда добавим каждому мальчику к тому, что он имеет, ещё по четверти. Тогда все яблоки будут распределены и каждый мальчик получит по одной половине да ещё по одной четверти яблока. Но так как в каждой половине содержится по 2 четверти, то окончательно можно сказать, что каждому мальчику придётся по две четверти и плюс по одной четверти, т. е. всего по три четверти (3 / 4)яблока.

§ 80. Сравнение дробей по величине.

Если мы сравниваем между собой какие-нибудь величины, например два отрезка, то может оказаться, что один из них в точности равен другому, или он больше другого, или меньше другого.

На рисунке 12 отрезок AВ равен отрезку CD; отрезок EF больше отрезка QH; отрезок KL меньше отрезка MN.

Такие же три случая мы встретим и при сравнении дробей. Попробуем сравнить между собой некоторые дроби.

1. Две дроби считаются равными, если величины, соответствующие этим дробям, равны между собой (при одной и той же единице измерения). Возьмём отрезок СК и примем его за единицу.

Разделим отрезок СК пополам точкой D (рис. 13). Тогда часть этого отрезка CD мы обозначим дробью 1 / 2 . Если тот же отрезок СК мы разделим на 4 равные части, то отрезок CD выразится дробью 2 / 4 ; если же мы разделим отрезок СК на 8 равных частей, то отрезку CD будет соответствовать дробь 4 / 8 . Так как мы три раза брали один и тот же отрезок, то дроби 1 / 2 , 2 / 4 и 4 / 8 равны между собой.

2. Возьмём две дроби с равными числителями: 1 / 4 и 1 / 8 , и посмотрим, какие величины им соответствуют. В первом случае некоторая величина разделена на 4 равные части, а во втором случае о н а же разделена на 8 равных частей.

Рисунок 14 показывает, что 1 / 4 больше 1 / 8 . Следовательно, из двух дробей с одинаковыми числителями та дробь больше, у которой знаменатель меньше.

3. Возьмём две дроби с равными знаменателями: 5 / 8 и 3 / 8 . Если мы отметим на предыдущем чертеже каждую из этих дробей, то увидим, что отрезок, соответствующий первой дроби, больше отрезка, соответствующего второй. Значит, из двух дробей с одинаковыми знаменателями та дробь больше, у которой числитель больше.

4. Если даются две дроби с разными числителями и знаменателями, то судить об их величине можно путём сравнения каждой из них с единицей. Например, 2 / 3 меньше 4 / 5 , потому что первая дробь отличается от единицы на 1 / 3 , а вторая на 1 / 5 , т. е. у второй дробименьше недостаёт до единицы, чем у первой.

Однако легче всего сравнивать такие дроби путём приведения их к общему знаменателю, о чём будет сказано ниже.

§ 81. Дроби правильные и неправильные. Смешанные числа.

Возьмём отрезок АВ, равный двум каким-нибудь линейным единицам (рис. 15). Разделим каждую единицу на 10 равных частей, тогда каждая часть будет равна 1 / 10 , т. е.

AD = DE = EF = FH = ... = 1 / 10 AC.

Рассмотрим другие отрезки и подумаем, какими дробями они выражаются. Например, AF - 3 / 10 , АК - 5 / 10 , AM - 7 / 10 ; АО - 9 / 10 , АС - 10 / 10 , АР - 11 / 10 , AR - 13 / 10 . Все взятые отрезки мы выразили дробными числами со знаменателем 10. У первых четырёх дробей (3 / 10 , 5 / 10 , 7 / 10 ; 9 / 10) числители меньше знаменателей, каждая из них меньше 1.

У пятой по порядку дроби (10 / 10) числитель равен знаменателю, а сама дробь равна 1, она соответствует отрезку АС, принятому за единицу.

У двух последних дробей (11 / 10 , 13 / 10) числители больше знаменателей, а каждая дробь больше 1.

Дробь, у которой числитель меньше знаменателя, называется правильной дробью. Как сказано выше, правильная дробь меньше единицы. Значит, первые четыре дроби - правильные и поэтому можно написать: 3 / 10 <1, 5 / 10 <1, 7 / 10 <1, 9 / 10 <1.

Дробь, у которой числитель равен знаменателю или больше его, называется неправильной дробью. Таким образом, неправильная дробь или равна единице, или больше её. Значит, три последние дроби - неправильные и можно написать:

10 / 10 =1 ; 11 / 10 >1 ; 13 / 10 >1 ;

Остановимся на двух последних (неправильных) дробях. Дробь 11 / 10 состоит из одной целой единицы и правильной дроби 1 / 10 , значит, её можно написать так: 1 1 / 10 . Получилось число, представляющее собой соединение целого числа и правильной дроби, т. е. смешанное число. То же самое можно повторить и относительно неправильной дроби 13 / 10 . Её мы можем представить как 1 3 / 10 . Это тоже будет смешанное число.

Необходимо научиться заменять неправильную дробь смешанным числом. Две предыдущие неправильные дроби мы легко заменили смешанными числами. Но если бы нам встретилась дробь,например 545 / 32 , то выделить из нее целую часть сложнее, а без выделения целой части трудно судить о величине этого числа.

С другой стороны, при выполнении различных вычислений иногда удобнее пользоваться не смешанными числами, а неправильными дробями. Значит, нужно уметь в случае надобности делать и обратное преобразование, т. е. заменять смешанное число неправильной дробью.

§ 82. Обращение неправильной дроби в смешанное число и обратное преобразование.

Возьмём неправильную дробь 9 / 4 и попробуем заменить её смешанным числом. Будем рассуждать так: если в одной единице заключено 4 четверти, то в 9 четвертях заключается столько целых единиц, сколько раз 4 четверти содержатся в 9 четвертях. Чтобы ответить на этот вопрос, достаточно 9 разделить на 4. Полученное частное укажет число целых, а остаток даст число четвертей, не составляющих целой единицы. 4 содержится в 9 два раза с остатком, равным 1. Значит, 9 / 4 = 2 1 / 4 , так как 9: 4 = 2 и 1 в остатке.

Обратим в смешанное число неправильную дробь 545 / 32 , указанную выше.

545 ; 32 = 17 и 1 в остатке, значит, 545 / 32 = 17 1 / 32 .

Чтобы обратить неправильную дробь в смешанное число, нужно числитель дроби разделить на знаменатель и найти остаток; частное покажет число целых единиц, а остаток - число долей единицы.

Так как, обращая неправильную дробь в смешанное число, мы всякий раз выделяем целую часть, то это преобразование принято называть исключением целого числа из неправильной дроби.

Рассмотрим случай, когда неправильная дробь равна целому числу. Пусть требуется исключить целое число из неправильной

дроби 36 / 12 По правилу получаем 36: 12 = 3 и 0 в остатке, т. е. числитель разделился на знаменатель без остатка, значит, 36 / 12 =3 .

Перейдём теперь к обратному преобразованию, т. е. к обращению смешанного числа в неправильную дробь.

Возьмём смешанное число 3 3 / 4 и обратим его в неправильную дробь. Будем рассуждать так: каждая целая единица содержит 4 четверти, а 3 единицы будут содержать в 3 раза больше четвёртых долей, т. е. 4 х 3 = 12 четвёртых долей. Значит, в 3 целых единицах содержится 12 четвертей, да ещё в дробной части смешанного числа имеется 3 четверти, а всего будет 15 четвертей, или 15 / 4 . Следовательно, 3 3 / 4 = 15 / 4 .

Пример. Обратить в неправильную дробь смешанное число 8 4 / 9:

Чтобы обратить смешанное число в неправильную дробь, нужно знаменатель умножить на целое число, к полученному произведению прибавить числитель и сделать эту сумму числителем искомой дроби, а знаменатель оставить прежний.

§ 83. Обращение целого числа в неправильную дробь.

Всякое целое число можно выразить в каких угодно долях единицы. Это иногда бывает полезно при вычислениях. Пусть, например, число 5 требуется выразить в шестых долях единицы.

Будем рассуждать следующим образом: так как в одной единице заключается шесть шестых долей, то в 5 единицах этих долей будет не шесть, а в 5 раз больше, т. е. 6 x 5 = 30 шестых долей. Действие принято располагать так:

Таким же образом мы можем всякое целое число обратить в неправильную дробь с любым знаменателем. Возьмём число 10 и представим его в виде неправильной дроби с различными знаменателями:

знаменатель 2, тогда

знаменатель 3, тогда

знаменатель 5, тогда

Таким образом, чтобы выразить целое число в виде неправильной дроби с данным знаменателем, нужно этот знаменатель умножить на данное число, полученное произведение сделать числителем и подписать данный знаменатель.

Наименьший из возможных знаменателей - единица (1). Поэтому, когда хотят представить целое число в виде дроби, то в качестве знаменателя часто берут единицу (l2 = 12 / 1). Эту мысль иногда выражают так: всякое целое число можно рассматривать как дробь со знаменателем, равным единице (2 = 2 / 1 ; 3 = 3 / 1 ; 4 = 4 / 1 ; 5 = 5 / 1 и т. д.)

§ 84. Изменение величины дроби с изменением её членов.

В этом параграфе мы рассмотрим, как будет изменяться величина дроби при изменении её членов.

1-й вопрос. Что происходит с величиной дроби при увеличении её числителя в несколько раз? Возьмём дробь 1 / 12 и будем постепенно увеличивать её числитель в два, в три, в четыре и т. д. раз. Тогда получатся следующие дроби:

Если мы станем сравнивать эти дроби между собой, то увидим, что они постепенно увеличиваются: вторая дробь в два раза больше первой, потому что в ней вдвое больше долей, третья дробь в три раза больше первой и т. д.

Отсюда можно сделать вывод: если числитель дроби увеличить в несколько раз, то дробь увеличится во столько же раз.

2-й вопрос. Что происходит с величиной дроби при уменьшении её числителя в несколько раз? Возьмём дробь 24 / 25 и будем постепенно уменьшать её числитель в два раза, в три раза, в четыре раза и т. д. Тогда получатся следующие дроби:

Посмотрите одну за другой эти дроби слева направо и вы убедитесь, что вторая дробь (12 / 25) в два раза меньше первой 24 / 25 , потому что у неё вдвое меньше долей, т. е. вдвое меньше числитель; четвертая дробь 6 / 25 вчетверо меньше первой и в два раза меньше второй.

Значит, если числитель дроби уменьшить в несколько раз, то дробь уменьшится во столько же раз.

3-й вопрос. Что произойдёт с величиной дроби при увеличении её знаменателя в несколько раз? На этот вопрос мы можем ответить, взяв какую-нибудь дробь, например 1 / 2 , и увеличив её знаменатель, не изменяя числителя. Увеличим знаменатель в два раза, в три раза и т. д. и посмотрим, что при этом произойдёт с дробью:

Постепенно увеличивая знаменатель, мы довели его, наконец, до 100. Знаменатель стал довольно велик, но зато сильно уменьшилась величина доли, она стала равна одной сотой. Отсюда ясно, что увеличение знаменателя дроби неизбежно приведёт к уменьшению самой дроби.

Значит, если знаменатель дроби увеличить в несколько раз, то дробь уменьшится во столько же раз.

4-й вопрос. Что произойдёт с величиной дроби при уменьшении её знаменателя в несколько раз? Мы возьмём те дроби, которые недавно были написаны, и перепишем их с конца; тогда у нас первая дробь будет самой маленькой, а последняя - самой большой, но зато самый большой знаменатель будет у первой, а самый маленький знаменатель будет у последней дроби:

Нетрудно сделать вывод: если знаменатель дроби уменьшить в несколько раз, то дробь увеличится во столько же раз.

5-й вопрос. Что произойдёт с дробью при одновременном увеличении или уменьшении числителя и знаменателя в одно и то же число раз?

Возьмём дробь 1 / 2 и будем последовательно и одновременно увеличивать её числитель и знаменатель. Рядом с дробью иногда ставят множитель, на который умножаются члены первой дроби:

Мы написали шесть дробей, они различны по своему внешнему виду, но нетрудно сообразить, что все они равны по величине. В самом деле, сравним хотя бы первую дробь со второй. Первая дробь равна 1 / 2 ; если мы увеличим в два раза её числитель, то дробь увеличится вдвое, но если мы тотчас же увеличим вдвое её знаменатель, то она уменьшится вдвое, т. е., иными словами, она останется без изменения. Значит, 1 / 2 = 2 / 4 . То же самое рассуждение можно повторить и относительно других дробей.

В ы в о д: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число (увеличить в одинаковое число раз), то величина дроби не изменится.

Это свойство запишем в общем виде. Обозначим дробь через a / b , число, на которое умножается числитель и знаменатель, - буквой т ; тогда указанное свойство примет вид равенства:

Остаётся рассмотреть вопрос об одновременном уменьшении числителя и знаменателя в одинаковое число раз. Напишем в ряд несколько дробей, где на первом месте будетдробь 36 / 48 , а на последнем 3 / 4:

Все они будут равны между собой, что можно обнаружить, сравнив любые две соседние дроби, например, уменьшая числитель первой дроби (36) вдвое, мы уменьшаем дробь в 2 раза, но уменьшая вдвое и её знаменатель (48), мы увеличиваем дробь в 2 раза, т. е. в результате оставляем её без изменения.

Вывод: если числитель и знаменатель дроби разделить на одно и то же число (уменьшить в одинаковое число раз), то величина дроби не изменится:

Сущность двух последних выводов состоит в том, что при одновременном увеличении или уменьшении числителя и знаменателя в одинаковое число раз величина дроби не изменится.

Это замечательное свойство дроби будет иметь большое значение в дальнейшем, поэтому мы будем называть его основным свойством дроби.

§ 85. Сокращение дробей.

Возьмём отрезок АВ (рис. 16) и разделим его на 20 равных частей, тогда каждая из этих частей будет равна 1 / 20 ; Отрезок же АС, который содержит 15 таких частей, будет представлен дробью 15 / 20 .

Теперь попробуем укрупнить доли, например разделим отрезок не на 20 частей, а на 4 равные части. Новые доли оказались крупнее прежних, так как каждая новая доля содержит 5 прежних, что отчётливо видно на чертеже. Теперь подумаем, чему при новом дроблении равен отрезок АС, который при первом дроблении был равен 15 / 20 отрезка АВ. Из чертежа видно, что если отрезок АВ разделить на 4 части, то отрезок АС будет равен 3 / 4 отрезка АВ.

Итак, отрезок АС в зависимости оттого, на сколько частей делится отрезок АВ, может изображаться и дробью 15 / 20 , и дробью 3 / 4 . По величине это одна и та же дробь, потому что она измеряет один и тот же отрезок в одних и тех же единицах измерения. Значит, вместо дроби 15 / 20 мы можем пользоваться дробью 3 / 4 , и обратно.

Возникает вопрос, какой дробью удобнее пользоваться? Удобнее пользоваться второй дробью, потому что у неё числитель и знаменатель выражены меньшими числами, чем у первой, и она в этом смысле является более простой.

В процессе рассуждения оказалось, что одна величина (отрезок АС) выразилась двумя дробями, различными по внешнему виду, но одинаковыми по величине (15 / 20 , 3 / 4) Очевидно, таких дробей может быть не две, а бесчисленное множество. Опираясь на основное свойство дроби, мы можем первую из этих дробей привести к такому виду, что числитель и знаменатель будут наименьшими. В самом деле, если числитель и знаменатель дроби 15 / 20 разделить на 5, то она будет равна 3 / 4 , т. е. 15 / 20 = 3 / 4 .

Вот это преобразование (одновременное уменьшение числителя и знаменателя в одинаковое число раз), позволяющее из дроби с большими числителем и знаменателем получить другую по виду, но равную по величине дробь с меньшими членами, и называется сокращением дробей.

Следовательно, сокращением дроби называется замена её другой, равной ей дробью с меньшими членами, путём деления числителя и знаменателя на одно и то же число.

Мы сократили дробь 15 / 20 и пришли к дроби 3 / 4 , которую уже нельзя сократить, потому что её члены 3 и 4 не имеют общего делителя (кроме единицы). Такая дробь называется несократимой . Есть два пути, по которым можно следовать при сокращении дробей. Первый путь состоит в том, что дробь сокращают постепенно, а не сразу, т. е. после первого сокращения получают снова сократимую дробь, которую потом опять сокращают, причём этот процесс может быть длительным, если числитель и знаменатель выражаются большими числами и имеют много общих делителей.

Возьмем дробь 60 / 120 и будем сокращать ее последовательно, сначала на 2, получим 60 / 120 = 30 / 60 Новую дробь (30 / 60) тоже можно сократить на 2, получим 30 / 60 = 15 / 30 . Члены новой дроби 15 / 30 имеют общих делителей, поэтому можно сократить эту дробь на 3, получится 15 / 30 = 5 / 10 . Наконец, последнюю дробь можно сократить на 5, т. е. 5 / 10 = 1 / 2 . В этом и состоит последовательное сокращение дробей.

Нетрудно сообразить, что данную дробь (60 / 120)можно было бы сократить сразу на 60, и мы получили бы тот же самый результат. Чем является 60 для чисел 60 и 120? Наибольшим общим делителем. Значит, сокращение дроби на наибольший общий делитель её членов даёт возможность сразу привести её к виду несократимой дроби, минуя промежуточные деления. Это второй путь сокращения дробей.

§ 86. Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю.

Возьмём несколько дробей:

Если мы станем сравнивать первую дробь со второй (1 / 2 и 1 / 3), то почувствуем некоторое затруднение. Конечно, мы понимаем, что половина больше одной трети, так как в первом случае величина разделена на две равные части, а во втором случае - на три равные части; но какая между ними разница, всё-таки ответить трудно. Другое дело вторая дробь и третья (1 / 3 и 2 / 3), их сравнить легко, так как сразу видно, что вторая дробь меньше третьей на одну треть. Нетрудно понять, что в тех случаях, когда мы сравниваем дроби с одинаковыми знаменателями, затруднений не происходит, в тех же случаях, когда знаменатели у сравниваемых дробей различны, возникают некоторые неудобства. Убедитесь в этом, сравнивая остальные данные дроби.

Поэтому напрашивается вопрос: нельзя ли при сравнении двух дробей добиться того, чтобы знаменатели были одинаковы? Это можно сделать, опираясь на основное свойство дроби, т. е. если мы в несколько раз увеличим знаменатель, то, чтобы не изменилась величина дроби, надо во столько же раз увеличить и её числитель.

Этим путём мы можем дроби с разными знаменателями приводить к общему знаменателю.

Если требуется привести к общему знаменателю какие-нибудь дроби, то сначала нужно найти число, которое делилось бы на знаменатель каждой из данных дробей. Следовательно, первым шагом в процессе приведения дробей к общему знаменателю будет нахождение наименьшего общего кратного для данных знаменателей. После того как наименьшее общее кратное найдено, нужно путём деления его на каждый знаменатель получить для каждой дроби так называемый дополнительный множитель . Это будут числа, указывающие, во сколько раз нужно увеличить числитель и знаменатель каждой дроби, чтобы знаменатели их сравнялись. Рассмотрим примеры.

1. Приведём к общему знаменателю дроби 7 / 30 и 8 / 15 . Найдём для знаменателей 30 и 15 наименьшее общее кратное. В данном случае таковым будет знаменатель первой дроби, т. е. 30. Это и будет наименьший общий знаменатель для дробей 7 / 30 и 8 / 15 . Теперь найдём дополнительные множители: 30: 30 = 1, 30: 15 = 2. Значит, для первой дроби дополнительным множителем будет 1, а для второй 2. Первая дробь останется без изменения. Умножая члены второй дроби на дополнительный множитель, приведём и её к знаменателю 30:

2. Приведём к общему знаменателю три дроби: 7 / 30 , 11 / 60 и 3 / 70 .

Найдём для знаменателей 30, 60 и 70 наименьшее общее кратное:

Наименьшее общее кратное будет 2 2 3 5 7 = 420.

Это и будет наименьший общий знаменатель данных дробей.

Теперь найдём дополнительные множители: 420: 30 = 14; 420: 60 = 7; 420: 70 = 6. Значит, для первой дроби дополнительным множителем будет 14, для второй 7 и для третьей 6. Умножая члены дробей на соответствующие дополнительные множители, получим дроби с равными знаменателями:

3. Приведём к общему знаменателю дроби: 8 / 25 и 5 / 12 . Знаменатели этих дробей (25 и 12) - числа взаимно простые. Поэтому наименьшее общее кратное получится от их перемножения: 25 х 12 = 300. Дополнительным множителем для первой дроби будет 12, а для второй 25. Данные дроби примут вид:

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, нужно сначала найти наименьшее общее кратное всех знаменателей и для каждого знаменателя определить дополнительный множитель, а затем оба члена каждой дроби умножить на соответствующий дополнительный множитель.

После того как мы научились приводить дроби к общему знаменателю, сравнение дробей по величине уже не будет представлять никаких затруднений. Мы можем теперь сравнивать по величине любые две дроби, приводя их предварительно к общему знаменателю.

Целые числа - это натуральные числа , а также противоположные им числа и нуль.

Целые числа — расширение множества натуральных чисел N , которое получается путем добавления к N 0 и отрицательных чисел типа − n . Множество целых чисел обозначают Z .

Сумма , разность и произведение целых чисел дают снова целые числа, т.е. целые числа составляют кольцо относительно операций сложения и умножения.

Целые числа на числовой оси:

Сколько целых чисел? Какое количество целых чисел? Самого большого и самого маленького целого числа нет. Этот ряд бесконечен. Наибольшее и наименьшее целое число не существует.

Натуральные числа еще называются положительными целыми числами , т.е. фраза «натуральное число» и «положительное целое число» это одно и то же.

Ни обыкновенные, ни десятичные дроби не являются целыми числами. Но существуют дроби с целыми числами.

Примеры целых чисел: -8, 111, 0, 1285642, -20051 и так далее.

Говоря простым языком, целые числа - это (∞... -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4...+ ∞) - последовательность целых чисел. То есть те, у которых дробная часть ({}) равна нулю. Они не имеют долей.

Натуральные числа - это целые, положительные числа. Целые числа, примеры : (1,2,3,4...+ ∞).

Операции над целыми числами.

1. Сумма целых чисел.

Для сложения двух целых чисел с одинаковыми знаками, необходимо сложить модули этих чисел и перед суммой поставить итоговый знак.

Пример:

(+2) + (+5) = +7.

2. Вычитание целых чисел.

Для сложения двух целых чисел с разными знаками, необходимо из модуля числа, которое больше вычесть модуль числа, которое меньше и перед ответом поставить знак большего числа по модулю.

Пример:

(-2) + (+5) = +3.

3. Умножение целых чисел.

Для умножения двух целых чисел, необходимо перемножить модули этих чисел и перед произведением поставить знак плюс (+), если исходные числа были одного знака, и минус (-) - если разного.

Пример:

(+2) ∙ (-3) = -6.

Когда умножаются несколько чисел, знак произведения будет положительным, если число неположительных сомножителей чётное, и отрицателен, если нечётное.

Пример:

(-2) ∙ (+3) ∙ (-5) ∙ (-3) ∙ (+4) = -360 (3 неположительных сомножителя).

4. Деление целых чисел.

Для деления целых чисел, необходимо поделить модуль одного на модуль другого и поставить перед результатом знак «+», если знаки чисел одинаковые, и минус, - если разные.

Пример:

(-12) : (+6) = -2.

Свойства целых чисел.

Z не замкнуто относительно деления 2-х целых чисел (например, 1/2 ). Ниже приведенная таблица показывает некоторые основные свойства сложения и умножения для любых целых a, b и c .

Свойство	сложение	умножение
замкнутость	a + b — целое	a × b — целое
ассоциативность	a + (b + c ) = (a + b ) + c	a × (b × c ) = (a × b ) × c
коммутативность	a + b = b + a	a × b = b × a
существование нейтрального элемента	a + 0 = a	a × 1 = a
существование противоположного элемента	a + (−a ) = 0	a ≠ ±1 ⇒ 1/a не является целым
дистрибутивность умножения относительно сложения	a × (b + c ) = (a × b ) + (a × c )

Из таблицы можно сделать вывод, что Z - это коммутативное кольцо с единицей относительно сложения и умножения.

Стандартное деление не существует на множестве целых чисел, но есть т.н деление с остатком : для всяких целых a и b , b≠0 , есть один набор целых чисел q и r , что a = bq + r и 0≤r<|b| , где |b| — абсолютная величина (модуль) числа b . Здесь a — делимое, b — делитель, q — частное, r — остаток.