Находим сторону треугольника, если две другие известны тремя способами, формулы. Как рассчитать угол наклона крыши

В геометрии часто бывают задачи, связанные со сторонами треугольников. Например, часто необходимо найти сторону треугольника, если две другие известны.

Треугольники бывают равнобедренными, равносторонними и неравносторонними. Из всего разнообразия, для первого примера выберем прямоугольный (в таком треугольнике один из углов равен 90°, прилегающие к нему стороны называются катетами, а третья — гипотенузой).

Быстрая навигация по статье

Длина сторон прямоугольного треугольника

Решение задачи следует из теоремы великого математика Пифагора. В ней говорится, что сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату его гипотенузы: a²+b²=c²

Находим квадрат длины катета a;
Находим квадрат катета b;
Складываем их между собой;
Из полученного результата извлекаем корень второй степени.

Пример: a=4, b=3, c=?

a²=4²=16;
b² =3²=9;
16+9=25;
√25=5. То есть, длина гипотенузы данного треугольника равна 5.

Если же у треугольника нет прямого угла, то длин двух сторон недостаточно. Для этого необходим третий параметр: это может быть угол, высота площадь треугольника, радиус вписанной в него окружности и т.д..

Если известен периметр

В этом случае задача ещё проще. Периметр (P) представляет собой сумму всех сторон треугольника: P=a+b+c. Таким образом, решив простое математическое уравнение получаем результат.

Пример: P=18, a=7, b=6, c=?

1) Решаем уравнение, перенося все известные параметры в одну сторону от знака равенства:

2) Подставляем вместо них значения и вычисляем третью сторону:

c=18-7-6=5, итого: третья сторона треугольника равна 5.

Если известен угол

Для вычисления третьей стороны треугольника по углу и двум другим сторонам, решение сводится к вычислению тригонометрического уравнения. Зная взаимосвязь сторон треугольника и синуса угла, несложно вычислить третью сторону. Для этого нужно возвести обе стороны в квадрат и сложить их результаты вместе. Затем вычесть из получившегося произведение сторон, умноженное на косинус угла: C=√(a²+b²-a*b*cosα)

Если известна площадь

В этом случае одной формулой не обойтись.

1) Сначала вычисляем sin γ, выразив его из формулы площади треугольника:

sin γ= 2S/(a*b)

2) По следующей формуле вычисляем косинус того же угла:

sin² α + cos² α=1

cos α=√(1 — sin² α)=√(1- (2S/(a*b))²)

3) И снова воспользуемся теоремой синусов:

C=√((a²+b²)-a*b*cosα)

C=√((a²+b²)-a*b*√(1- (S/(a*b))²))

Подставив в это уравнение значения переменных, получим ответ задачи.

Построить любую крышу не так просто, как кажется. А если хочется, чтобы она была надежной, прочной и не боялась различных нагрузок, то предварительно, еще на этапе проектирования, нужно произвести немало расчетов. И они будут включать в себя не только количество материалов, используемых для монтажа, но и определение углов наклона, площади скатов и т. д. Как рассчитать угол наклона крыши правильно? Именно от этого значения во многом будут зависеть и остальные параметры этой конструкции.

Проектирование и строительство любой кровли – всегда очень важное и ответственное дело. Особенно, если речь идет о кровле жилого дома или сложной по форме крыше. Но даже обычная односкатная, устанавливаемая на невзрачном сарайчике или гараже, точно так же нуждается в проведении предварительных расчетов.

Если заранее не определить угол наклона кровли, не выяснить, какую оптимальную высоту должен иметь конек, то велик риск построить такую кровлю, которая рухнет после первого же снегопада, или все отделочное покрытие с нее будет сорвано даже умеренным по силе ветром.

Также угол наклона кровли будет значительно влиять на высоту конька, на площадь и габариты скатов. В зависимости от этого можно будет более точно рассчитать количество требуемых для создания стропильной системы и отделки материалов.

Единицы измерения

Вспоминая геометрию, которую каждый изучал в школе, можно с уверенностью заявить, что угол наклона крыши измеряется в градусах. Однако в книгах, посвященных строительству, а также в различных чертежах можно встретить и другой вариант – угол указан в процентах (тут имеется ввиду соотношение сторон).

В целом, углом наклона ската является угол, который образован двумя пересекающимися плоскостями – перекрытием и непосредственно скатом крыши. Он может быть только острым, то есть лежать в диапазоне 0-90 градусов.

На заметку! Очень крутые скаты, угол наклона которых составляет более 50 градусов, встречаются крайне редко в чистом виде. Обычно они используются только при декоративном оформлении крыш, могут присутствовать в мансардах.

Что касается измерения углов кровли в градусах, то тут все просто – эти знания есть у каждого, изучавшего в школе геометрию. Достаточно набросать схему кровли на бумаге и при помощи транспортира определить угол.

Что касается процентов, то тут необходимо знать высоту конька и ширину здания. Первый показатель делится на второй, а полученное значение умножается на 100%. Таким образом, можно вычислить процентное соотношение.

На заметку! При процентном соотношении 1 обычный градус наклона равен 2,22%. То есть скат с углом 45 обычных градусов равен 100%. А 1 процент – это 27 угловых минут.

Таблица значений — градусы, минуты, проценты

Какие факторы влияют на угол наклона?

На угол наклона любой кровли влияет очень большое число факторов, начиная от пожеланий будущего владельца дома и заканчивая регионом, где дом будет располагаться. При расчете важно учитывать все тонкости, даже те, что на первый взгляд кажутся незначительными. В один прекрасный момент они могут сыграть свою роль. Определять подходящий угол наклона крыши следует, зная:

виды материалов, из которых будет строиться пирог кровли, начиная от стропильной системы и заканчивая внешней отделкой;
условия климата в данной местности (ветровая нагрузка, преобладающее направление ветров, количество осадков и т. д.);
форму будущего строения, его высоту, дизайн;
назначение строения, варианты использования чердачного помещения.

В тех регионах, где отмечена сильная ветровая нагрузка, рекомендуется строить крышу с одним скатом и небольшим углом наклона. Тогда при сильном ветре у кровли больше шансов устоять и не быть сорванной. Если же для региона характерно большое количество осадков (снега или дождя), то скат лучше делать более крутым – это позволит осадкам скатываться/стекать с кровли и не создавать дополнительной нагрузки. Оптимальный уклон односкатной кровли в ветреных регионах варьируется в пределах 9-20 градусов, а там, где выпадает много осадков – до 60 градусов . Угол 45 градусов позволит не учитывать снеговую нагрузку в целом, но давление ветра в этом случае на крышу будет в 5 раз больше, чем на кровлю с наклоном всего 11 градусов.

На заметку! Чем больше параметры уклона крыши, тем большее количество материалов потребуется для ее создания. Стоимость увеличивается минимум на 20%.

Углы скатов и кровельные материалы

Не только климатические условия будут оказывать значительное влияние на форму и угол скатов. Немаловажную роль играют и используемые для строительства материалы, в частности – покрытие крыш.

Таблица. Оптимальные углы наклона скатов для кровель из различных материалов.

На заметку! Чем меньше показатель наклона кровли, тем меньший шаг используется при создании обрешетки.

Высота конька тоже зависит от угла ската

При расчетах любой кровли за ориентир всегда берется прямоугольный треугольник, где катеты – это высота ската в верхней точке, то есть в коньке или же переходе нижней части всей системы стропил в верхнюю (в случае с мансардными кровлями), а также проекция длины конкретного ската на горизонталь, которая представлена перекрытиями. Здесь есть только одна постоянная величина – это длина крыши между двумя стенами, то есть длина пролета. Высота коньковой части будет меняться в зависимости от угла наклона.

Спроектировать кровлю помогут знания формул из тригонометрии: tgA = H/L, sinA = H/S, H = LхtgA, S = H/sinA, где А – это угол ската, Н – высота кровли к области конька, L – ½ всей длины пролета кровли (при двухскатной крыше) либо вся длина (в случае односкатной кровли), S – длина самого ската. Например, если известно точное значение высоты коньковой части, то определяется угол наклона по первой формуле. Найти угол можно будет по таблице тангенсов. Если же в основе расчетов лежит угол кровли, то найти параметр высоты конька можно по третьей формуле. Длину стропил, имея значение угла наклона и параметров катетов, можно посчитать по четвертой формуле.

Калькулятор расчета высоты конька

Укажите запрашиваемые значения и нажмите кнопку «Рассчитать высоту конька h»

Расчет провести для:

Ширина здания D, (метров)

Планируемый угол уклона кровли α, (градусов)

Как зависят габариты мансарды от угла наклона?

Чтобы появилась возможность полезно использовать чердачное помещение, стоит задуматься о строительстве мансарды. И здесь угол наклона кровли приобретает так называемое прикладное значение. В зависимости от того, каким будет это значение, зависит и свободное пространство чердачного помещения. Так, чем меньше значение угла наклона, тем меньше свободного места будет в этой части дома.

Важно! Высота потолка в мансарде не может быть менее 2 м.

Таким образом, мансарду надо строить только с крутыми скатами. Но в этом случае выявляются определенные проблемы: размеры кровли увеличиваются, высота стропильной конструкции – тоже, появится необходимость проектирования массы нужных мелких элементов. Такая кровля станет сильнее «парусить» и должна быть очень прочной, чтобы выдержать различные воздействия внешних факторов.

Значения снеговой нагрузки

Россия – страна огромная, и климат в разных ее точках может существенно отличаться друг от друга. Показатели снеговой нагрузки – тоже. Существует 8 основных зон, разделенных по интенсивности снеговой нагрузки.

Для расчета снеговой нагрузки на проектируемое строение используется формула Рсн = Рст.н х m, где Рст.н. – показатель, определяемый по специальным таблицам, а m – коэффициент поправки, который зависит от угла ската кровли. Он будет равен 1, если угол ската варьируется в пределах 0-25 градусов, 0,7 – при скатах 25-60 градусов. Если угол превышает 60 градусов, то снеговая нагрузка при проектировании крыши не учитывается.

Значения ветровой нагрузки

Так как ветер может менять направление движения, выявить ветровую нагрузку будет гораздо сложнее, чем снеговую. Кровля благодаря ему может прижиматься к основанию, но также может подвергаться действию определенной силы, которая будет стремиться сорвать ее с дома. Также ветер действует на все строение неравномерно.

Для проведения нужных расчетов придется использовать только превалирующее направление ветра в данном регионе, которое определяется по «розе ветров». Также при расчетах требуется учитывать наличие вблизи зданий, гор, лесов и других элементов, которые могут не только менять направление ветра, но и в некоторой степени регулировать его силу, защищая строение от шквалов.

Согласно карте можно выявить основные ветровые характеристики, превалирующие в определенной зоне страны. Далее определяется ветровое давление Рвт (кг/м 2). Оно будет меняться в зависимости от зоны:

Ia – 24;
I – 32;
II – 42;
III – 53;
IV – 67;
V – 84;
VI – 100;
VII – 120.

Затем используется формула Рв = Рвт х К х С , где К – значение коэффициента, зависящего от высоты строения и особенностей местности, а С – коэффициент, зависящий от угла наклона ската и направления ветра.

Таблица. Определение коэффициента К.

Высота строения, м	А	Б	В
Менее 5	0,75	0,5	0,4
5-10	1	0,65	0,4
10-20	1,25	0,85	0,55
20-40	1,5	1,1	0,8

А, Б, В – это определенные типы зон, А – открытая голая местность, где ветровая нагрузка будет максимальной, зона Б относится к небольшим жилым поселкам с высотой препятствий до 10 м, пересеченной местности или окруженной лесами территории, а В – это зона плотной застройки в городах, где высота зданий составляет 25 и более метров.

На заметку! Определить, какую зону выбрать в каждом конкретном случае, поможет значение высоты здания Н, которая умножается на 30. Таким образом, получается подходящий радиус зоны. Например, при высоте строения 60 м ориентироваться стоит на окружность с радиусом 2 км.

Согласно приведенному выше рисунку, большое значение при определении воздействия ветра на определенный участок кровли имеет показатель е. Он будет равен 2хН или b (выбирается тот, что меньше). Коэффициент с определяется по таблице с учетом угла наклона кровельных скатов.

Таблица. Значение С (фронтон).

Угол ската	G	F	I	H
0	-1,3	-1,8	-0,5	-0,7
15	-1,3	-1,3	-0,5	-0,6
30	-1,4	-1,1	-0,5	-0,8
45	-1,4	-1,1	-0,5	-0,9
60	-1,2	-1,1	-0,5	-0,8

Таблица. Значение С (скат).

Суммарное силовое воздействие на каждый участок кровли вычисляется по формуле: Рсум = Рсн + Рв. Этот показатель станет исходным для расчета стропил.

На заметку! Проще всего произвести расчеты угла ската не самостоятельно, а с использованием онлайн-калькуляторов либо компьютерных программ.

Вариант расчета параметров кровли с использованием калькулятора

Шаг 1. Первым делом в браузере открывается сайт, где есть онлайн-калькулятор. В данном случае можно указать массу параметров будущей кровли. Для начала выбирается форма крыши – например, односкатная.

Шаг 3. Выбираются значения длины и ширины основания кровли, ориентируясь на изображение внизу страницы – там показаны определения используемых обозначений.

Шаг 4. Сразу же можно указать и другие значения – параметры стропильной системы, вплоть до указания используемых материалов для ее сооружения. Выбирается также и значение шага обрешетки, расчет снеговой нагрузки.

Шаг 5. Снеговая нагрузка определяется по региону, где будет находиться строение. Для этого есть удобная карта-схема.

Шаг 6. Чтобы расчеты были произведены, нажимается кнопка «Рассчитать».

Шаг 7. В итоге на странице появится подробная таблица с указанием основных параметров кровли, в том числе и угла ее наклона.

Также приведем примерный расчет угла кровли в зависимости от известного значения высоты конька. Для произведения расчетов следует измерить ширину фронтона (для примера это показатель будет равен 6 м). Далее это значение делится на 2 – получается 3 м. Высота конька в данном случае должна быть 1,8 м.

Теперь просто нужно воспользоваться известными из уроков геометрии формулами и узнать тангенс угла: tgA = a:b = 3:1,8 = 1,67 . Значение угла по значению тангенса можно найти в таблице Брадиса. В данном случае угол ската будет равен 58-59 градусов. Его можно округлить до 60.

Видео – Нахождение наклона и высоты крыши

Расчет ската кровли – довольно сложная процедура для тех, кто не дружит с математикой. Однако при желании можно разобраться со всеми этими формулами и все просчитать самостоятельно. Тогда расчеты будут максимально верными.

В жизни нам часто придется сталкиваться с математическими задачами: в школе, в университете, а затем помогая своему ребенку с выполнением домашнего задания. Люди определенных профессий будут сталкиваться с математикой ежедневно. Поэтому полезно запоминать или вспоминать математические правила. В этой статье мы разберем одно из них: нахождение катета прямоугольного треугольника.

Что такое прямоугольный треугольник

Для начала вспомним, что такое прямоугольный треугольник. Прямоугольный треугольник – это геометрическая фигура из трех отрезков, которые соединяют точки, не лежащие на одной прямой, и один из углов этой фигуры равен 90 градусам. Стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, которая лежит напротив прямого угла – гипотенузой.

Находим катет прямоугольного треугольника

Существует несколько способов, позволяющих узнать длину катета. Хотелось бы рассмотреть бы их подробнее.

Теорема Пифагора, чтобы найти катет прямоугольного треугольника

Если нам известны гипотенуза и катет, то мы можем найти длину неизвестного катета по теореме Пифагора. Звучит она так: “Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов”. Формула: c²=a²+b², где c – гипотенуза, a и b – катеты. Преобразовываем формулу и получаем: a²=c²-b².

Пример. Гипотенуза равна 5 см, а катет – 3 см. Преобразовываем формулу: c²=a²+b² → a²=c²-b². Далее решаем: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (см).

Тригонометрические соотношения, чтобы найти катет прямоугольного треугольника

Также можно найти неизвестный катет, если известны любая другая сторона и любой острый угол прямоугольного треугольника. Есть четыре варианта нахождения катета при помощи тригонометрических функций: по синусу, косинусу, тангенсу, котангенсу. Для решения задач нам поможет таблица, которая находится чуть ниже. Рассмотрим эти варианты.

Найти катет прямоугольного треугольника при помощи синуса

Синус угла (sin) – это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Формула: sin=a/c, где а – катет, лежащий против данного угла, а с – гипотенуза. Далее преобразуем формулу и получаем: a=sin*c.

Пример. Гипотенуза равна 10 см, угол А равен 30 градусов. По таблице вычисляем синус угла А, он равен 1/2. Затем по преобразованной формуле решаем: a=sin∠А*c; a=1/2*10; a=5 (см).

Найти катет прямоугольного треугольника при помощи косинуса

Косинус угла (cos) – это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Формула: cos=b/c, где b – катет, прилежащий к данному углу, а с – гипотенуза. Преобразуем формулу и получим: b=cos*c.

Пример. Угол А равен 60 градусов, гипотенуза равна 10 см. По таблице вычисляем косинус угла А, он равен 1/2. Далее решаем: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (см).

Найти катет прямоугольного треугольника при помощи тангенса

Тангенс угла (tg) – это отношение противолежащего катета к прилежащему. Формула: tg=a/b, где а – противолежащий к углу катет, а b – прилежащий. Преобразуем формулу и получаем: a=tg*b.

Пример. Угол А равен 45 градусов, гипотенуза равна 10 см. По таблице вычисляем тангенс угла А, он равен Решаем: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (см).

Найти катет прямоугольного треугольника при помощи котангенса

Котангенс угла (ctg) – это отношение прилежащего катета к противолежащему. Формула: ctg=b/a, где b – прилежащий к углу катет, а – противолежащий. Иначе говоря, котангенс – это “перевернутый тангенс”. Получаем: b=ctg*a.

Пример. Угол А равен 30 градусов, противолежащий катет равен 5 см. По таблице тангенс угла А равен √3. Вычисляем: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (см).

Итак, теперь вы знаете, как находить катет в прямоугольном треугольнике. Как видите, это не так уж и сложно, главное – запомнить формулы.

Длины сторон которого (a, b, c) известны, используйте теорему косинусов. Она утверждает, что квадрат длины любой из сторон равен сумме квадратов длин двух других, из которой вычтено удвоенное произведение длин этих же двух сторон на косинус угла между ними. Использовать эту теорему можно для расчета угла в любой из вершин, важно знать лишь его расположение относительно сторон. Например, чтобы найти угол α, который лежит между сторонами b и c, теорему надо записать так: a² = b² + c² - 2*b*c*cos(α).

Выразите из формулы косинус искомого угла: cos(α) = (b²+c²-a²)/(2*b*c). К обеим частям равенства примените функцию, обратную косинусу - арккосинус. Она позволяет по значению косинуса восстановить величину угла в градусах: arccos(cos(α)) = arccos((b²+c²-a²)/(2*b*c)). Левую часть можно упростить и вычисления угла между сторонами b и c приобретет окончательный вид: α = arccos((b²+c²-a²)/2*b*c).

При нахождении величин острых углов в прямоугольном треугольнике знание длин всех сторон не обязательно, достаточно двух из них. Если эти две стороны - катеты (a и b), разделите длину той, которая лежит напротив искомого угла (α), на длину другой. Так вы получите значение тангенса нужного угла tg(α) = a/b, а применив к обеим частям равенства обратную функцию - арктангенс - и упростив, как и в предыдущем шаге, левую часть, выведите окончательную формулу: α = arctg(a/b).

Если известные стороны - катет (a) и гипотенуза (c), для вычисления величины угла (β), образованного этими сторонами, воспользуйтесь функцией косинус и обратной ей - арккосинус. Косинус определяется отношением длины катета к гипотенузе, а формулу в окончательном виде можно записать так: β = arccos(a/c). Для расчета по этим же исходным острого угла (α), лежащего напротив известного катета, используйте то же соотношение, заменив арккосинус на арксинус: α = arcsin(a/c).

Источники:

формула треугольника при 2 сторонах

Совет 2: Как найти углы треугольника по длинам его сторон

Есть несколько вариантов нахождения величин всех углов в треугольнике, если известны длины трех его сторон . Один из способов заключается в использовании двух разных формул вычисления площади треугольника . Для упрощения расчетов можно также применить теорему синусов и теорему о сумме углов треугольника .

Инструкция

Воспользуйтесь, например, двумя формулами вычисления площади треугольника , в одной из которых задействованы только три его известных сторон ы ( Герона), а в другой - две сторон ы и синус угла между ними. Используя во второй формуле разные пары сторон , вы сможете определить величины каждого из углов треугольника .

Решите задачу в общем виде. Формула Герона определяет площадь треугольника , как квадратный корень из произведения полупериметра (половины всех сторон ) на разницы между полупериметром и каждой из сторон . Если заменить суммой сторон , то формулу можно записать в таком виде: S=0,25∗√(a+b+c)∗(b+c-a)∗(a+c-b)∗(a+b-c).C другой сторон ы площадь треугольника можно выразить как половину произведения двух его сторон на синус угла между ними. Например, для сторон a и b с углом γ между ними эту формулу можно записать так: S=a∗b∗sin(γ). Замените левую часть равенства формулой Герона: 0,25∗√(a+b+c)∗(b+c-a)∗(a+c-b)∗(a+b-c)=a∗b∗sin(γ). Выведите из этого равенства формулу для

Вписанной в него окружности (r). Для этого увеличьте ее в шесть раз и разделите на квадратный корень из тройки: А = r*6/√3.

Зная радиус (R), тоже можно вычислить длину стороны (А) правильного треугольника . Этот радиус вдвое больше использованного в предыдущей формуле, поэтому утройте его и тоже поделите на квадратный корень из тройки: А = R*3/√3.

По (Р) равностороннего треугольника вычислить длину его стороны (А) еще проще, так как длины сторон в этой фигуре одинаковы. Просто разделите периметр натрое: А = Р/3.

В равнобедренном треугольнике вычисление длины стороны по известному периметру немного сложнее - нужно знать еще и длину хотя бы одной из сторон. Если известна длина стороны А, лежащей в основании фигуры, длину любой из боковых (В) находите пополам разности между периметром (Р) и размером основания: В = (Р-А)/2. А если известна боковая сторона, то длину основания определяйте вычитанием из периметра удвоенной длины боковой: А = Р-2*В.

Знания площади (S), занимаемой на плоскости правильным треугольником, тоже достаточно для нахождения длины его стороны (А). Извлеките квадратный корень из соотношения площади и корня из тройки, а полученный результат удвойте: А = 2*√(S/√3).

В , в от любого другого, для вычисления длины одной из сторон достаточно знать длины двух других. Если искомая сторона - (С), для этого находите квадратный корень длин известных сторон (А и В), возведенных в квадрат: С = √(А²+В²). А если вычислить требуется длину одного из катетов, то квадратный корень следует извлекать из длин гипотенузы и другого катета: А = √(С²-В²).

Источники:

как вычислить сторону равностороннего треугольника

В общем случае, т.е. когда нет данных о том, является ли треугольник равносторонним, равнобедренным, прямоугольным, приходится использовать тригонометрические функции для вычисления длин его сторон. Правила их применения определяются теоремами, которые так и названы - теорема синусов, косинусов и тангенсов.

Инструкция

Один из способов вычисления длин сторон произвольного треугольника предполагает теоремы синусов. Согласно ей соотношения длин сторон противолежащих им углов треугольника равны. Это позволяет вывести формулу длины стороны для тех случаев, из условий задачи известна хотя бы одна сторона и два угла в вершинах фигуры. Если ни один из этих двух углов (α и β) не лежит между известной стороной А и вычисляемой В, то умножьте длину известной стороны на синус прилегающего к ней известного угла β и разделите на синус другого известного угла а: В = А*sin(β)/sin(α).

Если один (γ) из двух (α и γ) известных углов образован , длина одной из которых (А) дана в , а вторую (В) требуется вычислить, то примените ту же теорему. Решение можно свести к формуле, полученной в предыдущем шаге, если вспомнить еще и теорему о сумме углов в треугольнике - эта величина всегда 180°. В формуле неизвестен угол β, который по этой теореме можно вычислить, если отнять от 180° величины двух известных углов. Подставьте это значение в равенство, и вы получите формулу В = А*sin(180°-α-γ)/sin(α).